Coordenadas Polares

Coordenadas Polares.

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas  bidimensionales  en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es amplia mente utilizado en física y trigonometría.

De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Puntos Con Coordenadas Polares.

·         El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

·         El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

·         Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (, θ) se puede representar como (, θ ± ×360°) o (−, θ ± (2 + 1)180°), donde  es un número entero cualquiera.⁴

·         El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.⁵ Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar  a números no negativos  ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).⁶

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional ) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.⁷

un  vídeo.

paginas que contienen ejemplos;


http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polares-cartesianas.html



http://www.dynamics.unam.edu/Preparatoria8/polares/

Plano Carteciano

Plano Cartesiano.

      Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios  euclideos, para la representación gráfica de una función, en geometría analíticas, o del  movimiento posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de Rene descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Si el sistema en sí es un sistema bidimencional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes

·         Primer cuadrante "I": Región superior derecha

·         Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda

·         Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda

·         Circunferencia

·         Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha.

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema referencia respecto ya sea a un solo eje (linea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

Historia.

Se denominan coordenadas cartesianas célebre filosofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas ».

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección positiva de las x: .

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta lineal

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

 Ejemplos

     El plano cartesiano con ello lo podemos utilizar para cualquier caso que sea de graficar  como se ve unos ejemplos.

       

Interés Compuesto

Interés Compuesto

Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año.

Durante el primer año el capital C produce un interés I1 = C · i . El capital final será:

C1 = C + Ci = C(1 + i)

Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será:

C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i + 1) =

= C · (1 + i )2

Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn,

Cn = C (1 + i )n

Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial:

I = Cn - C = C (1 + i )n - C, y sacando factor común C:

La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn:

Cn = C (1 + i )n

Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años:

Si los periodos de conversión son semestrales,

Si los periodos de conversión son trimestrales,

Ejercicios:

1. Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n

? = C( 1 + i )n

C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6

El capital final es de 1 763 194 pesos.

2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Resolución:

Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:

1 583 945 = C (1 + 0,05)14

1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:

El capital inicial fue de 800 000 pesos.

3. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital

de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos.

Resolución:

· Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4

2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4

1 + i = 1,1199999

i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12

La tasa de interés ha sido del 12 %.

veamos un vídeo para resolver dudas.

Algunas paginas que se encuentran ejemplos
http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html


https://es.scribd.com/doc/22443384/Interes-Compuesto-Problemas-Resueltos-I

Funciones.

Funciones.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

COMBINACIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las 

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio:

 Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

 Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

       

Función cuadrática.

Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

Graficando con Puntos

 Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación y =x". Si hacemos una tabla con los valores de esta función vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

x	y = x2
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:

Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función.

Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:

 Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.

¡Mejor! Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.

Características de una Parábola

La forma estándar de una ecuación cuadrática es

. Por ejemplo

 El valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:

El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.

Que es una función polinomiales ?

Las funciones polinomiales están entre las expresiones más sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.

Una función polinomial es una función en que f ( x ) es un polinomio en x .

Una función polinomial de grado n es escrita como 

 .

Las funciones polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.

Función Exponencial.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.¹

^Propiedades.

La función   exponencial ( exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

·         Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

 La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

·        La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

·        La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

·        La función es solución de la ecuación diferencial .²

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto . 

Vídeo.

paginas que contienen ejemplos.

http://www.vitutor.com/fun/2/a_a.html

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm